問題は、以下の定積分を計算することです。 (1) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\pi} |\sin 2\theta| d\theta$ (2) $\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx$

1. 問題の内容

問題は、以下の定積分を計算することです。

(1) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\pi} |\sin 2\theta| d\theta$

(2) $\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\pi} |\sin 2\theta| d\theta$

まず、$|\sin 2\theta|$ の符号が変わる区間を調べます。$\sin 2\theta = 0$ となるのは、$2\theta = n\pi$ つまり $\theta = \frac{n\pi}{2}$ （$n$は整数）のときです。積分区間 $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \pi$ において、$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$ で $\sin 2\theta$ の符号が変わります。したがって、積分区間を $[-\frac{\pi}{4}, 0]$, $[0, \frac{\pi}{2}]$, $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ に分割します。

* $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le 0$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le 0$ であるから $\sin 2\theta \le 0$ となり、$|\sin 2\theta| = -\sin 2\theta$

* $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$0 \le 2\theta \le \pi$ であるから $\sin 2\theta \ge 0$ となり、$|\sin 2\theta| = \sin 2\theta$

* $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ のとき、$\pi \le 2\theta \le 2\pi$ であるから $\sin 2\theta \le 0$ となり、$|\sin 2\theta| = -\sin 2\theta$

したがって、

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\pi} |\sin 2\theta| d\theta = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (-\sin 2\theta) d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta d\theta + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\sin 2\theta) d\theta$

$= \left[ \frac{1}{2}\cos 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{0} + \left[ -\frac{1}{2}\cos 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{1}{2}\cos 2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

$= \frac{1}{2}(\cos 0 - \cos(-\frac{\pi}{2})) - \frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) + \frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi)$

$= \frac{1}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(-1 - 1) + \frac{1}{2}(1 - (-1))$

$= \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{5}{2}$

(2) $\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx$

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ なので、$\sin x + \cos x = 0$ となるのは、$x + \frac{\pi}{4} = n\pi$ つまり $x = n\pi - \frac{\pi}{4}$ ($n$は整数) のときです。積分区間 $0 \le x \le \pi$ において、$x = \frac{3\pi}{4}$ で $\sin x + \cos x$ の符号が変わります。

* $0 \le x \le \frac{3\pi}{4}$ のとき、$\sin x + \cos x \ge 0$ となり、$|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$

* $\frac{3\pi}{4} \le x \le \pi$ のとき、$\sin x + \cos x \le 0$ となり、$|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} |\sin x + \cos x| dx = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} (\sin x + \cos x) dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} -(\sin x + \cos x) dx$

$= \left[-\cos x + \sin x\right]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} + \left[\cos x - \sin x\right]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}$

$= \left(-\cos\frac{3\pi}{4} + \sin\frac{3\pi}{4}\right) - (-\cos 0 + \sin 0) + (\cos \pi - \sin \pi) - (\cos\frac{3\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{4})$

$= (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-1 + 0) + (-1 - 0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= \sqrt{2} + 1 - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $2\sqrt{2}$