実数 $t$ に対して、2点 $P(t, t^2)$, $Q(t+1, (t+1)^2)$ を考える。 (1) 2点 $P, Q$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) $a$ は定数とし、直線 $x = a$ と $l$ の交点の $y$ 座標を $t$ の関数と考えて $f(t)$ とおく。$t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲を動くときの $f(t)$ の最大値を $a$ を用いて表せ。 (3) $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形を図示し、その面積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

実数 $t$ に対して、2点 $P(t, t^2)$, $Q(t+1, (t+1)^2)$ を考える。

(1) 2点 $P, Q$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) $a$ は定数とし、直線 $x = a$ と $l$ の交点の $y$ 座標を $t$ の関数と考えて $f(t)$ とおく。$t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲を動くときの $f(t)$ の最大値を $a$ を用いて表せ。

(3) $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形を図示し、その面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2点 $P(t, t^2)$, $Q(t+1, (t+1)^2)$ を通る直線 $l$ の方程式を求める。

傾きは $\frac{(t+1)^2 - t^2}{(t+1) - t} = \frac{t^2 + 2t + 1 - t^2}{1} = 2t + 1$

直線の方程式は、$y - t^2 = (2t+1)(x - t)$

$y = (2t+1)x - 2t^2 - t + t^2$

$y = (2t+1)x - t^2 - t$

(2) 直線 $x = a$ と $l$ の交点の $y$ 座標を $f(t)$ とする。

$f(t) = (2t+1)a - t^2 - t = -t^2 + (2a-1)t + a$

$f(t)$ の最大値を求める。$-1 \le t \le 0$

$f(t) = -(t - \frac{2a-1}{2})^2 + (\frac{2a-1}{2})^2 + a = -(t - (a - \frac{1}{2}))^2 + a^2 - a + \frac{1}{4} + a = -(t - (a - \frac{1}{2}))^2 + a^2 + \frac{1}{4}$

$a - \frac{1}{2}$ の位置によって場合分けが必要。

(i) $a - \frac{1}{2} \le -1$ つまり $a \le -\frac{1}{2}$ のとき、$t = -1$ で最大値

$f(-1) = -1 + (2a-1)(-1) + a = -1 -2a + 1 + a = -a$

(ii) $-1 \le a - \frac{1}{2} \le 0$ つまり $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ のとき、$t = a-\frac{1}{2}$ で最大値

$f(a-\frac{1}{2}) = a^2 + \frac{1}{4}$

(iii) $a - \frac{1}{2} \ge 0$ つまり $a \ge \frac{1}{2}$ のとき、$t = 0$ で最大値

$f(0) = a$

まとめると

$a \le -\frac{1}{2}$ のとき、最大値は $-a$

$-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $a^2 + \frac{1}{4}$

$a \ge \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $a$

(3) 線分 $PQ$ が通過してできる図形を図示し、その面積を求める。

$y = (2t+1)x - t^2 - t$

$t$ について整理すると、

$t^2 + (1 - 2x)t + (y - x) = 0$

$-1 \le t \le 0$ で少なくとも一つの実数解を持つ条件を求める。

$D = (1-2x)^2 - 4(y-x) = 4x^2 - 4x + 1 - 4y + 4x = 4x^2 - 4y + 1 \ge 0$

$y \le x^2 + \frac{1}{4}$

$f(t) = t^2 + (1 - 2x)t + (y-x) = 0$

$f(-1) = 1 - 1 + 2x + y - x = x + y \ge 0$

$f(0) = y - x \ge 0$

$y \ge -x$

$y \ge x$

通過領域は $y \le x^2 + \frac{1}{4}$, $y \ge x$, $y \ge -x$ で囲まれた領域

面積を求める

$\int_0^{1/2} (x^2 + \frac{1}{4} - x) dx + \int_{-1/2}^0 (x^2 + \frac{1}{4} + x) dx = 2 \int_0^{1/2} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$

$= 2 [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x]_0^{1/2} = 2(\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) = 2(\frac{1}{24}) = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (2t+1)x - t^2 - t$

(2)

$a \le -\frac{1}{2}$ のとき、最大値は $-a$

$-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $a^2 + \frac{1}{4}$

$a \ge \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $a$

(3) 面積は $\frac{1}{12}$