$3x^2 + 2x = x(3x + 2)$

## 問題の内容

次の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 + 2x}{2x}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}$

(3) $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3x + 2}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}$

## 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 + 2x}{2x}$**

1. 分子を $x$ で因数分解します。

$3x^2 + 2x = x(3x + 2)$

2. 分母と分子を $x$ で約分します。

$\frac{x(3x + 2)}{2x} = \frac{3x + 2}{2}$

3. 極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x + 2}{2} = \frac{3(0) + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

**(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}$**

1. 分子を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$

2. 分母と分子を $(x - 2)$ で約分します。

$\frac{(x - 2)(x - 1)}{x - 2} = x - 1$

3. 極限を計算します。

$\lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$

**(3) $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3x + 2}$**

1. 分子と分母を因数分解します。

$2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)$

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

2. 分母と分子を $(x + 1)$ で約分します。

$\frac{(2x + 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2x + 1}{x + 2}$

3. 極限を計算します。

$\lim_{x \to -1} \frac{2x + 1}{x + 2} = \frac{2(-1) + 1}{-1 + 2} = \frac{-2 + 1}{1} = -1$

**(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}$**

1. 分子を因数分解します。

$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$

2. 分母と分子を $(x - 1)$ で約分します。

$\frac{(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = (x^2 + 1)(x + 1)$

3. 極限を計算します。

$\lim_{x \to 1} (x^2 + 1)(x + 1) = (1^2 + 1)(1 + 1) = (1 + 1)(2) = 2(2) = 4$

## 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) -1

(4) 4