問題4と5の極限値を求める問題です。 問題4は有理関数の極限を求めます。 問題5は根号を含む式の極限を求めます。

1. 問題の内容

問題4と5の極限値を求める問題です。

問題4は有理関数の極限を求めます。

問題5は根号を含む式の極限を求めます。

2. 解き方の手順

**問題4(1):**

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x+1}$

分子と分母を$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4+\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}}$

$x \to \infty$のとき$\frac{1}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4+\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}} = \frac{4+0}{2+0} = \frac{4}{2} = 2$

**問題4(2):**

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2+2x-1}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき$\frac{1}{x} \to 0$および$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}} = \frac{2+0}{1+0-0} = \frac{2}{1} = 2$

**問題4(3):**

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{x^2+x+1}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき$\frac{1}{x} \to 0$および$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{0+0}{1+0+0} = \frac{0}{1} = 0$

**問題4(4):**

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x^2+3}}{x}$

$\sqrt{x^2}=x$であることを利用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x^2+3}}{\sqrt{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{2x^2+3}{x^2}}$

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{2+\frac{3}{x^2}}{1}} = \sqrt{2}$

**問題5(1):**

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3}-x)$

有理化します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3}-x)(\sqrt{x^2+3}+x)}{\sqrt{x^2+3}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3-x^2}{\sqrt{x^2+3}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}$

分子は定数で分母は$\infty$に発散するので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x} = 0$

**問題5(2):**

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-x)$

有理化します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-1}-x)(\sqrt{x^2-1}+x)}{\sqrt{x^2-1}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}$

分子は定数で分母は$\infty$に発散するので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x} = 0$

**問題5(3):**

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x}-x)$

有理化します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$

分子と分母を$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$

**問題5(4):**

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$

有理化します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-x}-x)(\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}$

分子と分母を$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

問題4:

(1) 2

(2) 2

(3) 0

(4) $\sqrt{2}$

問題5:

(1) 0

(2) 0

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $-\frac{1}{2}$