与えられた積分方程式 $f(x) = x^2 + x \int_0^3 f(t) dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた積分方程式 $f(x) = x^2 + x \int_0^3 f(t) dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^3 f(t) dt$ は定数であることに注目します。この定数を $A$ と置きます。

$$A = \int_0^3 f(t) dt$$

すると、$f(x)$ は

$$f(x) = x^2 + Ax + 2$$

と表されます。ここで、$x$ を $t$ に置き換えて、積分を計算します。

$$A = \int_0^3 f(t) dt = \int_0^3 (t^2 + At + 2) dt$$

積分を計算します。

$$A = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{A}{2}t^2 + 2t \right]_0^3$$

$$A = \left( \frac{1}{3}(3)^3 + \frac{A}{2}(3)^2 + 2(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{A}{2}(0)^2 + 2(0) \right)$$

$$A = \frac{27}{3} + \frac{9A}{2} + 6$$

$$A = 9 + \frac{9A}{2} + 6$$

$$A = 15 + \frac{9A}{2}$$

$A$ について解きます。

$$A - \frac{9A}{2} = 15$$

$$\frac{2A - 9A}{2} = 15$$

$$\frac{-7A}{2} = 15$$

$$-7A = 30$$

$$A = -\frac{30}{7}$$

この $A$ の値を $f(x)$ の式に代入します。

$$f(x) = x^2 + Ax + 2 = x^2 - \frac{30}{7}x + 2$$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 - \frac{30}{7}x + 2$