実数 $t$ に対して、2点 $P(t, t^2)$, $Q(t+1, (t+1)^2)$ を考える。 (1) 2点 $P, Q$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) $a$ は定数とし、直線 $x=a$ と $l$ の交点の $y$ 座標を $t$ の関数と考えて $f(t)$ とおく。$t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲を動くときの $f(t)$ の最大値を $a$ を用いて表せ。 (3) $t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形を図示し、その面積を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $t$ に対して、2点 $P(t, t^2)$, $Q(t+1, (t+1)^2)$ を考える。

(1) 2点 $P, Q$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) $a$ は定数とし、直線 $x=a$ と $l$ の交点の $y$ 座標を $t$ の関数と考えて $f(t)$ とおく。$t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲を動くときの $f(t)$ の最大値を $a$ を用いて表せ。

(3) $t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形を図示し、その面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2点 $P(t, t^2), Q(t+1, (t+1)^2)$ を通る直線 $l$ の方程式を求める。

直線の傾きは

$\frac{(t+1)^2 - t^2}{(t+1) - t} = \frac{t^2 + 2t + 1 - t^2}{1} = 2t + 1$

よって、直線 $l$ の方程式は、点 $P(t, t^2)$ を通ることから

$y - t^2 = (2t + 1)(x - t)$

$y = (2t + 1)x - 2t^2 - t + t^2$

$y = (2t + 1)x - t^2 - t$

(2) 直線 $x = a$ と $l$ の交点の $y$ 座標を $f(t)$ とする。

$f(t) = (2t + 1)a - t^2 - t = -t^2 + (2a-1)t + a$

$f(t) = -(t - (a - \frac{1}{2}))^2 + (a - \frac{1}{2})^2 + a = -(t - (a - \frac{1}{2}))^2 + a^2 - a + \frac{1}{4} + a = -(t - (a - \frac{1}{2}))^2 + a^2 + \frac{1}{4}$

$-1 \le t \le 0$ の範囲における $f(t)$ の最大値を考える。

軸 $t = a - \frac{1}{2}$

(i) $a - \frac{1}{2} \leq -1$ すなわち $a \leq -\frac{1}{2}$ のとき、

$f(t)$ は減少関数だから、最大値は $f(-1) = -1 - 2a + 1 + a = -a$

(ii) $-1 < a - \frac{1}{2} < 0$ すなわち $-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ のとき、

$f(t)$ の最大値は $f(a - \frac{1}{2}) = a^2 + \frac{1}{4}$

(iii) $a - \frac{1}{2} \geq 0$ すなわち $a \geq \frac{1}{2}$ のとき、

$f(t)$ は増加関数だから、最大値は $f(0) = a$

(3) $t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲を動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる図形を図示し、その面積を求める。

$y = (2t+1)x - t^2 - t$

$t^2 + (1-2x)t + y - x = 0$

$t$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

$D = (1-2x)^2 - 4(y-x) = 1 - 4x + 4x^2 - 4y + 4x = 4x^2 - 4y + 1 \geq 0$

$4y \leq 4x^2 + 1$

$y \leq x^2 + \frac{1}{4}$

$t=-1$ のとき、$P(-1, 1), Q(0, 1)$, $y = -x$

$t=0$ のとき、$P(0, 0), Q(1, 1)$, $y = x$

$-1 \le t \le 0$ において、$t$ が存在するための条件は、

$f(t) = t^2 + (2x-1)t + x-y = 0$ が $-1 \le t \le 0$ に少なくとも1つの実数解を持つことである。

面積を求める。

求める面積は $y=x^2+\frac{1}{4}$ と $y=x, y=-x$ で囲まれた図形である。

$-x=x^2 + \frac{1}{4}$ とすると、$x^2+x+\frac{1}{4}=0$, $(x+\frac{1}{2})^2 = 0$ より、$x = -\frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}$

$x=x^2 + \frac{1}{4}$ とすると、$x^2-x+\frac{1}{4}=0$, $(x-\frac{1}{2})^2 = 0$ より、$x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}$

$S = \int_{-\frac{1}{2}}^0 (x^2 + \frac{1}{4} - (-x)) dx + \int_0^{\frac{1}{2}} (x^2 + \frac{1}{4} - x) dx$

$= \int_{-\frac{1}{2}}^0 (x^2 + x + \frac{1}{4}) dx + \int_0^{\frac{1}{2}} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$

$= [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x]_{-\frac{1}{2}}^0 + [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x]_0^{\frac{1}{2}}$

$= -(\frac{-1}{24} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (2t + 1)x - t^2 - t$

(2) $a \le -\frac{1}{2}$ のとき $-a$, $-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ のとき $a^2 + \frac{1}{4}$, $a \ge \frac{1}{2}$ のとき $a$

(3) 図形は $y \le x^2 + \frac{1}{4}$ であり、面積は $\frac{1}{12}$