$x > 0$ における関数 $f(x) = \left(2x + \frac{27}{x+1} + 2\right)\left(x + \frac{6}{x+1} + 1\right)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x > 0$ における関数 $f(x) = \left(2x + \frac{27}{x+1} + 2\right)\left(x + \frac{6}{x+1} + 1\right)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x+1 = t$ とおくと、$x = t-1$ であり、$x > 0$ より $t > 1$ となります。

このとき、関数 $f(x)$ は $t$ の関数として、

$f(t) = \left(2(t-1) + \frac{27}{t} + 2\right)\left(t-1 + \frac{6}{t} + 1\right) = \left(2t + \frac{27}{t}\right)\left(t + \frac{6}{t}\right)$ となります。

これを展開すると

$f(t) = 2t^2 + 12 + 27 + \frac{162}{t^2} = 2t^2 + \frac{162}{t^2} + 39$

となります。

ここで、$t^2 > 1$ であることに注意して、相加相乗平均の関係を使うことを考えます。

$2t^2 + \frac{162}{t^2} \geq 2\sqrt{2t^2 \cdot \frac{162}{t^2}} = 2\sqrt{324} = 2 \cdot 18 = 36$

よって、$f(t) \geq 36 + 39 = 75$ となります。

等号が成立するのは、$2t^2 = \frac{162}{t^2}$ のときです。

$2t^4 = 162$

$t^4 = 81$

$t^2 = 9$

$t = \pm 3$

$t > 1$ より、$t = 3$ となります。

このとき、$x = t - 1 = 3 - 1 = 2$ となります。

したがって、$x = 2$ のとき最小値 $75$ をとります。

3. 最終的な答え

最小値: 75

$x$ の値: 2