定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4(x) \cos(x) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4(x) \cos(x) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いることを考えます。$u = \sin(x)$ とおくと、$du = \cos(x) \, dx$ となります。

また、積分範囲も変更する必要があります。

$x = -\frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^4 \, du$

次に、積分を計算します。

$\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^4 \, du = \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{5} \left( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 \right)$

$= \frac{1}{5} \left( \frac{(\sqrt{2})^5}{2^5} - \frac{-(\sqrt{2})^5}{2^5} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{4\sqrt{2}}{32} + \frac{4\sqrt{2}}{32} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{8\sqrt{2}}{32} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$

$= \frac{\sqrt{2}}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{20}$