定積分 $\int_{-a}^{a} x^3 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ を計算します。

解析学定積分奇関数積分

2025/5/9

1. 問題の内容

定積分

\int_{-a}^{a} x^3 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx

を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数

f(x) = x^3 \sqrt{a^2 - x^2}

を考えます。

この関数が奇関数であるかどうかを調べます。

f(-x) = (-x)^3 \sqrt{a^2 - (-x)^2} = -x^3 \sqrt{a^2 - x^2} = -f(x)

したがって、

f(x)

は奇関数です。

奇関数を対称な区間

[-a, a]

で積分すると、積分値は0になります。

\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0

3. 最終的な答え

0

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