定積分 $\int_{2}^{3} (x^2 + 5)e^x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{3} (x^2 + 5)e^x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って計算します。まず、

$I = \int (x^2 + 5)e^x dx$

を計算します。

$u = x^2 + 5$, $dv = e^x dx$ とおくと、

$du = 2x dx$, $v = e^x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を使うと、

$I = (x^2 + 5)e^x - \int 2xe^x dx$

となります。

次に、$\int 2xe^x dx$ を計算します。

$u = 2x$, $dv = e^x dx$ とおくと、

$du = 2 dx$, $v = e^x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を使うと、

$\int 2xe^x dx = 2xe^x - \int 2e^x dx = 2xe^x - 2e^x + C$

となります。

したがって、

$I = (x^2 + 5)e^x - (2xe^x - 2e^x) + C = (x^2 - 2x + 7)e^x + C$

となります。

したがって、定積分は

$\int_{2}^{3} (x^2 + 5)e^x dx = [(x^2 - 2x + 7)e^x]_{2}^{3} = (3^2 - 2(3) + 7)e^3 - (2^2 - 2(2) + 7)e^2 = (9 - 6 + 7)e^3 - (4 - 4 + 7)e^2 = 10e^3 - 7e^2$

となります。

3. 最終的な答え

$10e^3 - 7e^2$