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定積分 $\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx$ を計算します。

解析学定積分指数関数積分計算
2025/5/9

1. 問題の内容

定積分 ∫−11(ex−e−x−1)dx\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。
∫−11(ex−e−x−1)dx=∫−11exdx−∫−11e−xdx−∫−111dx\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx = \int_{-1}^{1} e^x dx - \int_{-1}^{1} e^{-x} dx - \int_{-1}^{1} 1 dx
それぞれの積分を計算します。
∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C
∫e−xdx=−e−x+C\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C
∫1dx=x+C\int 1 dx = x + C
したがって、
∫−11exdx=e1−e−1=e−1e\int_{-1}^{1} e^x dx = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}
∫−11e−xdx=−e−1−(−e−(−1))=−e−1+e=e−1e\int_{-1}^{1} e^{-x} dx = -e^{-1} - (-e^{-(-1)}) = -e^{-1} + e = e - \frac{1}{e}
∫−111dx=1−(−1)=2\int_{-1}^{1} 1 dx = 1 - (-1) = 2
よって、
∫−11(ex−e−x−1)dx=(e−1e)−(e−1e)−2=0−2=−2\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx = (e - \frac{1}{e}) - (e - \frac{1}{e}) - 2 = 0 - 2 = -2

3. 最終的な答え

-2

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