関数 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 点 $(2, -1)$ から曲線 $C$ に異なる2本の接線を引くことができます。それぞれの接線の方程式と接点の座標を求めます。 (2) 曲線 $C$ と、(1) で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 点 $(2, -1)$ から曲線 $C$ に異なる2本の接線を引くことができます。それぞれの接線の方程式と接点の座標を求めます。

(2) 曲線 $C$ と、(1) で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, f(t))$ とします。$f(x) = x^2 - 3x + 2$ より、$f'(x) = 2x - 3$ です。よって、接線の方程式は

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$y - (t^2 - 3t + 2) = (2t - 3)(x - t)$

この接線が点 $(2, -1)$ を通るので、

$-1 - (t^2 - 3t + 2) = (2t - 3)(2 - t)$

$-1 - t^2 + 3t - 2 = 4t - 2t^2 - 6 + 3t$

$-t^2 + 3t - 3 = -2t^2 + 7t - 6$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

$t=1$ のとき、接点の座標は $(1, f(1)) = (1, 1^2 - 3(1) + 2) = (1, 0)$ です。接線の傾きは $f'(1) = 2(1) - 3 = -1$ なので、接線の方程式は

$y - 0 = -1(x - 1)$

$y = -x + 1$

$t=3$ のとき、接点の座標は $(3, f(3)) = (3, 3^2 - 3(3) + 2) = (3, 2)$ です。接線の傾きは $f'(3) = 2(3) - 3 = 3$ なので、接線の方程式は

$y - 2 = 3(x - 3)$

$y = 3x - 7$

(2) 曲線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = -x + 1$ の交点の $x$ 座標は

$x^2 - 3x + 2 = -x + 1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

曲線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = 3x - 7$ の交点の $x$ 座標は

$x^2 - 3x + 2 = 3x - 7$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

2つの接線 $y = -x + 1$ と $y = 3x - 7$ の交点の $x$ 座標は

$-x + 1 = 3x - 7$

$4x = 8$

$x = 2$

求める面積 $S$ は

$S = \int_1^2 (-x + 1 - (x^2 - 3x + 2)) dx + \int_2^3 (3x - 7 - (x^2 - 3x + 2)) dx$

$= \int_1^2 (-x^2 + 2x - 1) dx + \int_2^3 (-x^2 + 6x - 9) dx$

$= [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 - x]_1^2 + [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x]_2^3$

$= (-\frac{8}{3} + 4 - 2) - (-\frac{1}{3} + 1 - 1) + (-\frac{27}{3} + 27 - 27) - (-\frac{8}{3} + 12 - 18)$

$= -\frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} - 9 + \frac{8}{3} - (-6)$

$= -\frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} - 9 + \frac{8}{3} + 6$

$= \frac{1}{3} + 2 - 9 + 6 = \frac{1}{3} -1 = \frac{-2}{3}$

符号が負になってしまったので，積分区間の順番が逆になっているかもしれない．絶対値を取って正の面積とする．

$S = | \int_1^2 (-x^2 + 2x - 1) dx | + | \int_2^3 (-x^2 + 6x - 9) dx |$

$= | [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 - x]_1^2 | + | [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x]_2^3 |$

$= | (-\frac{8}{3} + 4 - 2) - (-\frac{1}{3} + 1 - 1) | + | (-\frac{27}{3} + 27 - 27) - (-\frac{8}{3} + 12 - 18) |$

$= | -\frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} | + | -9 + \frac{8}{3} + 6 |$

$= | -\frac{7}{3} + 2 | + | -3 + \frac{8}{3} |$

$= | -\frac{1}{3} | + | -\frac{1}{3} |$

$= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式：$y = -x + 1$, $y = 3x - 7$

接点の座標：$(1, 0)$, $(3, 2)$

(2) 面積：$S = \frac{2}{3}$