問題(36): 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \sin 2x \, dx$ を計算します。

## 解答

以下の問題の中から、指定された問題を解きます。

1. 問題の内容

問題(36): 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \sin 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するには、部分積分を用います。部分積分の公式は次のとおりです。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここで、$u = x$ と $dv = \sin 2x \, dx$ とします。すると、$du = dx$ であり、$v = \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x$ となります。

したがって、

$\int x \sin 2x \, dx = x \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) dx$

$= -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx$

$= -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) + C$

$= -\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \sin 2x \, dx = \left[-\frac{1}{2} x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cos \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{4} \sin \frac{2\pi}{3}\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot \cos 0 + \frac{1}{4} \sin 0\right)$

$= \left(-\frac{\pi}{6} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - (0 + 0)$

$= \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x \sin 2x \, dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$