数列 $S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

数列 $S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$ を書き出す。

$S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

次に、$S_n$ に $\frac{1}{3}$ をかけたものを考える。

$\frac{1}{3} S_n = \frac{1}{3} + 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 3 \cdot (\frac{1}{3})^3 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^4 + \dots + (n-1) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$S_n$ から $\frac{1}{3} S_n$ を引く。

$S_n - \frac{1}{3} S_n = (1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}) - (\frac{1}{3} + 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 3 \cdot (\frac{1}{3})^3 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^4 + \dots + (n-1) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + n \cdot (\frac{1}{3})^n)$

$\frac{2}{3} S_n = 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1}$ は初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の和であるから、

$1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n)$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n) - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} (\frac{1}{3})^n - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$\frac{2}{3} S_n = \frac{3}{2} - (\frac{3}{2} + n) (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - (\frac{3}{2} + n) (\frac{1}{3})^n \cdot \frac{3}{2}$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} (\frac{3}{2} + n) (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - (\frac{9}{4} + \frac{3n}{2}) (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{9+6n}{4} (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{9+6n}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9(3^n-1) - 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{3^{n+2}-9-6n}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

または

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{6n+9}{4 \cdot 3^n}$