関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ について、 (1) $x$ が $1$ から $3$ まで変わるときの平均変化率を求める。 (2) $f'(x)$ を定義にしたがって求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ について、

(1) $x$ が $1$ から $3$ まで変わるときの平均変化率を求める。

(2) $f'(x)$ を定義にしたがって求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率は、$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ で求められます。

まず、$f(3)$ と $f(1)$ を計算します。

$f(3) = (3)^2 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$

$f(1) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

したがって、平均変化率は

$\frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

(2) $f'(x)$ の定義は、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ です。

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = (x+h)^2 - 2(x+h) + 3 = x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 3$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 3) - (x^2 - 2x + 3) = 2xh + h^2 - 2h = h(2x + h - 2)$

したがって、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{h(2x + h - 2)}{h} = 2x + h - 2$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 2) = 2x - 2$

3. 最終的な答え

(1) 平均変化率は $2$

(2) $f'(x) = 2x - 2$