数列 $S_n$ が与えられており、$S_n$ を $n$ の式で表す問題です。 $S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

1. 問題の内容

数列 $S_n$ が与えられており、$S_n$ を $n$ の式で表す問題です。

$S_n = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + n \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S_n$ に公比 $r = \frac{1}{3}$ をかけたものを考えます。

$\frac{1}{3} S_n = \frac{1}{3} + 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 3 \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + (n-1) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + n \cdot (\frac{1}{3})^n$

次に、$S_n$ から $\frac{1}{3} S_n$ を引きます。

$S_n - \frac{1}{3} S_n = 1 + (2-1) \cdot \frac{1}{3} + (3-2) \cdot (\frac{1}{3})^2 + (4-3) \cdot (\frac{1}{3})^3 + \dots + (n - (n-1)) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$\frac{2}{3} S_n = 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

右辺の $1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1}$ は初項 $1$, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の和なので、

$1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n)$

したがって、

$\frac{2}{3} S_n = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n) - n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3}{2} n \cdot (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} (1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3n}{2} (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} (\frac{1}{3})^n - \frac{3n}{2} (\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - (\frac{1}{3})^n (\frac{9}{4} + \frac{6n}{4})$

$S_n = \frac{9}{4} - (\frac{1}{3})^n \frac{9+6n}{4}$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{6n+9}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

または

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{3(2n+3)}{4 \cdot 3^n}$