$\int (2e^x - 5^x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int (2e^x - 5^x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分は線形性を持つため、それぞれの項を別々に積分できます。

$\int (2e^x - 5^x) dx = \int 2e^x dx - \int 5^x dx$

定数倍の性質を利用して、定数を積分の外に出します。

$\int 2e^x dx - \int 5^x dx = 2 \int e^x dx - \int 5^x dx$

$\int e^x dx = e^x + C_1$ であり、$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C_2$ (ただし、$a > 0$、$a \neq 1$) です。

したがって、

$2 \int e^x dx = 2e^x + C_3$

$\int 5^x dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C_4$

これらの結果を組み合わせます。

$2 \int e^x dx - \int 5^x dx = 2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$

3. 最終的な答え

$2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$