与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は、$\frac{1}{3 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 15}, \frac{1}{15 \cdot 19}, \dots$ となっています。

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は、$\frac{1}{3 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 15}, \frac{1}{15 \cdot 19}, \dots$ となっています。

2. 解き方の手順

この数列の一般項を求めて、部分分数分解を利用して和を計算します。

数列の各項の分母は、$3 \cdot 7, 7 \cdot 11, 11 \cdot 15, 15 \cdot 19, \dots$ となっているので、第 $k$ 項の分母は $(4k-1)(4k+3)$ と表せます。

したがって、一般項 $a_k$ は $a_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ となります。

部分分数分解を行うと、

$$a_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{A}{4k-1} + \frac{B}{4k+3}$$

ここで、

$$1 = A(4k+3) + B(4k-1)$$

$k = \frac{1}{4}$ を代入すると $1 = A(1+3) + B(1-1)$ より $4A = 1$ なので $A = \frac{1}{4}$。

$k = -\frac{3}{4}$ を代入すると $1 = A(-3+3) + B(-3-1)$ より $-4B = 1$ なので $B = -\frac{1}{4}$。

したがって、

$$a_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$$

となります。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$$

$$S_n = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$$

この和は、

$$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{15} \right) + \dots + \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right) \right]$$

となり、隣り合う項が打ち消しあう（telescoping sum）ので、

$$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$$

$$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3-3}{3(4n+3)} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{3(4n+3)} \right)$$

$$S_n = \frac{n}{3(4n+3)}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{12n+9}$