与えられた数列の和 $S_n = 1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot(\frac{1}{3})^2 + 4\cdot(\frac{1}{3})^3 + \cdots + n\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n = 1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot(\frac{1}{3})^2 + 4\cdot(\frac{1}{3})^3 + \cdots + n\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$ を書き出す。

$S_n = 1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot(\frac{1}{3})^2 + 4\cdot(\frac{1}{3})^3 + \cdots + n\cdot(\frac{1}{3})^{n-1}$

次に、$S_n$ に $\frac{1}{3}$ をかける。

$\frac{1}{3}S_n = \frac{1}{3} + 2\cdot(\frac{1}{3})^2 + 3\cdot(\frac{1}{3})^3 + \cdots + (n-1)\cdot(\frac{1}{3})^{n-1} + n\cdot(\frac{1}{3})^{n}$

$S_n$ から $\frac{1}{3}S_n$ を引く。

$S_n - \frac{1}{3}S_n = 1 + (2-1)\cdot\frac{1}{3} + (3-2)\cdot(\frac{1}{3})^2 + (4-3)\cdot(\frac{1}{3})^3 + \cdots + (n-(n-1))\cdot(\frac{1}{3})^{n-1} - n\cdot(\frac{1}{3})^n$

$\frac{2}{3}S_n = 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \cdots + (\frac{1}{3})^{n-1} - n\cdot(\frac{1}{3})^n$

右辺の $1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \cdots + (\frac{1}{3})^{n-1}$ は初項 $1$、公比 $\frac{1}{3}$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 + \cdots + (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$

したがって、

$\frac{2}{3}S_n = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) - n\cdot(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3}{2}n\cdot(\frac{1}{3})^n = \frac{9}{4}(1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{3n}{2}(\frac{1}{3})^n$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{9}{4}(\frac{1}{3})^n - \frac{3n}{2}(\frac{1}{3})^n = \frac{9}{4} - (\frac{9}{4} + \frac{6n}{4})(\frac{1}{3})^n = \frac{9}{4} - \frac{9+6n}{4\cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{3(3+2n)}{4\cdot 3^n}$

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{4\cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{9}{4} - \frac{2n+3}{4 \cdot 3^{n-1}}$

あるいは

$S_n = \frac{9 \cdot 3^{n-1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}$