関数 $y = x^{\cos x}$, $x > 0$ の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\cos x}$, $x > 0$ の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\cos x}) = \cos x \cdot \ln x$

両辺を $x$ で微分します。積の微分公式を使います。

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = (\cos x)' \cdot \ln x + \cos x \cdot (\ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot \ln x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \left( -\sin x \cdot \ln x + \frac{\cos x}{x} \right)$

$y = x^{\cos x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} \left( -\sin x \cdot \ln x + \frac{\cos x}{x} \right)$

よって、導関数は

$y' = x^{\cos x} \left( -\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x} \right)$

となります。

3. 最終的な答え

選択肢の①が正しいです。

答え: 1