関数 $y = -\sin^2\theta + \cos\theta$ (ただし、$0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sin^2\theta + \cos\theta$ (ただし、$0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$ を $\cos^2\theta$ で表すために、三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いる。これにより、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ となる。

これを元の関数に代入する。

$y = -(1 - \cos^2\theta) + \cos\theta$

$y = \cos^2\theta + \cos\theta - 1$

次に、$x = \cos\theta$ とおくと、関数は $y = x^2 + x - 1$ となる。ここで、$-1 \le x \le 1$ である。

平方完成を行う。

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 1$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

これは下に凸な放物線である。軸は $x = -\frac{1}{2}$ であり、定義域 $-1 \le x \le 1$ に含まれている。

したがって、頂点で最小値をとる。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値は $y = -\frac{5}{4}$。

また、$x = 1$ のとき、最大値をとる。

$x = 1$ のとき、$y = 1^2 + 1 - 1 = 1$。

次に、$\theta$ の値を求める。

最小値をとるとき、$\cos\theta = -\frac{1}{2}$。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$。

最大値をとるとき、$\cos\theta = 1$。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は、$\theta = 0$。

3. 最終的な答え

最大値: $1$ ($\theta = 0$ のとき)

最小値: $-\frac{5}{4}$ ($\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ のとき)