$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x} dx$、 $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\cos x + \sin x} dx$とする。 (1) $x = \frac{\pi}{2} - t$ とおいて置換積分法を用いることで、$I = J$を示せ。 (2) $I+J$ の値を求めよ。 (3) $I$ と $J$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x} dx$、 $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\cos x + \sin x} dx$とする。

(1) $x = \frac{\pi}{2} - t$ とおいて置換積分法を用いることで、$I = J$を示せ。

(2) $I+J$ の値を求めよ。

(3) $I$ と $J$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x = \frac{\pi}{2} - t$ とおくと、$dx = -dt$。また、積分区間は $x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対応して $t: \frac{\pi}{2} \to 0$ となる。

$\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t$, $\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$であるから、

$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos^3 (\frac{\pi}{2} - t)}{\cos (\frac{\pi}{2} - t) + \sin (\frac{\pi}{2} - t)} (-dt)$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 t}{\sin t + \cos t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\cos x + \sin x} dx = J$

したがって、$I = J$が示された。

(2) $I+J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x + \sin^3 x}{\cos x + \sin x} dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x)}{\cos x + \sin x} dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x \sin x) dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sin 2x) dx$

$=[x + \frac{1}{4} \cos 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = [\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos \pi] - [0 + \frac{1}{4} \cos 0]$

$=\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$

(3) (1)より、$I = J$であり、(2)より、$I + J = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$である。

したがって、$I = J = \frac{1}{2} (I + J) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $I=J$

(2) $I+J = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$

(3) $I = J = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}$