関数 $f(t) = \int_0^t (x^2 - 5x + 6) dx$ の極小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = \int_0^t (x^2 - 5x + 6) dx$ の極小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(t)$ を計算する。

$x^2 - 5x + 6$ を積分すると $\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$ となるので、

$f(t) = \int_0^t (x^2 - 5x + 6) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x \right]_0^t = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 6t$

次に、$f(t)$ の導関数 $f'(t)$ を計算する。

$f'(t) = \frac{d}{dt} (\frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 6t) = t^2 - 5t + 6$

$f'(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$t^2 - 5t + 6 = 0$

$(t-2)(t-3) = 0$

$t = 2, 3$

$f'(t)$ の符号の変化を調べる。

$t < 2$ のとき、$f'(t) > 0$

$2 < t < 3$ のとき、$f'(t) < 0$

$t > 3$ のとき、$f'(t) > 0$

したがって、$t=2$ で極大、$t=3$ で極小となる。

$t=3$ のときの $f(t)$ の値を求める。

$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{5}{2}(3)^2 + 6(3) = \frac{27}{3} - \frac{45}{2} + 18 = 9 - \frac{45}{2} + 18 = 27 - \frac{45}{2} = \frac{54-45}{2} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

極小値: $\frac{9}{2}$