関数 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ に対し、点 $(2, -1)$ から曲線 $C$ に引ける2本の接線の方程式と、それぞれの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ に対し、点 $(2, -1)$ から曲線 $C$ に引ける2本の接線の方程式と、それぞれの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C: y = x^2 - 3x + 2$ 上の点 $(t, t^2 - 3t + 2)$ における接線を求める。

$f'(x) = 2x - 3$ より、点 $(t, t^2 - 3t + 2)$ における接線の傾きは $2t - 3$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 3t + 2) = (2t - 3)(x - t)$

$y = (2t - 3)x - 2t^2 + 3t + t^2 - 3t + 2$

$y = (2t - 3)x - t^2 + 2$

(2) 接線が点 $(2, -1)$ を通る条件を求める。

$x = 2, y = -1$ を代入すると、

$-1 = (2t - 3) \cdot 2 - t^2 + 2$

$-1 = 4t - 6 - t^2 + 2$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

(3) $t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 1^2 - 3(1) + 2) = (1, 0)$ である。

また、接線の傾きは $2(1) - 3 = -1$ であるから、接線の方程式は

$y - 0 = -1(x - 1)$

$y = -x + 1$

(4) $t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 3^2 - 3(3) + 2) = (3, 2)$ である。

また、接線の傾きは $2(3) - 3 = 3$ であるから、接線の方程式は

$y - 2 = 3(x - 3)$

$y = 3x - 9 + 2$

$y = 3x - 7$

3. 最終的な答え

接線の方程式と接点の座標は以下の通り。

- 接線 $y = -x + 1$, 接点 $(1, 0)$

- 接線 $y = 3x - 7$, 接点 $(3, 2)$