関数 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ が与えられています。 (1) 点 $(2, -1)$ から曲線 $C: y = f(x)$ に引ける2本の接線の方程式と接点の座標を求めます。 (2) 曲線 $C$ と (1) で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ が与えられています。

(1) 点 $(2, -1)$ から曲線 $C: y = f(x)$ に引ける2本の接線の方程式と接点の座標を求めます。

(2) 曲線 $C$ と (1) で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, f(t)) = (t, t^2 - 3t + 2)$ と表せます。

$f(x) = x^2 - 3x + 2$ を微分すると、

$f'(x) = 2x - 3$

よって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 3t + 2) = (2t - 3)(x - t)$

この接線が点 $(2, -1)$ を通るので、代入すると、

$-1 - (t^2 - 3t + 2) = (2t - 3)(2 - t)$

$-1 - t^2 + 3t - 2 = 4t - 2t^2 - 6 + 3t$

$-t^2 + 3t - 3 = -2t^2 + 7t - 6$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

$t=1$ のとき、接点の座標は $(1, f(1)) = (1, 1^2 - 3(1) + 2) = (1, 0)$ であり、接線の傾きは $f'(1) = 2(1) - 3 = -1$ なので、接線の方程式は

$y - 0 = -1(x - 1)$

$y = -x + 1$

$t=3$ のとき、接点の座標は $(3, f(3)) = (3, 3^2 - 3(3) + 2) = (3, 2)$ であり、接線の傾きは $f'(3) = 2(3) - 3 = 3$ なので、接線の方程式は

$y - 2 = 3(x - 3)$

$y = 3x - 7$

(2)

曲線 $C: y = x^2 - 3x + 2$ と2本の接線 $y = -x + 1$ と $y = 3x - 7$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、それぞれの交点の $x$ 座標を求めて積分する必要があります。

交点の $x$ 座標は $t = 1, 3$ です。

したがって、$S$ は以下の積分で計算できます。

$S = \int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2 - (-x + 1)| dx + \int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2 - (3x - 7)| dx$

2本の接線の交点の $x$ 座標は、$-x + 1 = 3x - 7$ を解いて $x = 2$ です。

曲線 $C: y = x^2 - 3x + 2$ は下に凸な放物線であり、頂点の $x$ 座標は $x = \frac{3}{2}$ です。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ より、$x = 1, 2$ で $x$ 軸と交わります。

$S = \int_{1}^{2} ((x^2 - 3x + 2) - (-x + 1)) dx + \int_{2}^{3} ((-x + 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx + \int_{1}^{2} ((x^2 - 3x + 2) - (3x - 7)) dx + \int_{2}^{3} ((3x - 7) - (x^2 - 3x + 2)) dx$

$S = \int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2 - (-x + 1)| dx + \int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2 - (3x - 7)| dx$

$S = \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) dx - \int_2^3 (x^2 - 2x + 1) dx$

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_1^2 - \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_2^3$

$S = (\frac{8}{3} - 4 + 2) - (\frac{1}{3} - 1 + 1) - ((\frac{27}{3} - 9 + 3) - (\frac{8}{3} - 4 + 2))$

$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - (3 - \frac{2}{3})$

$S = \frac{1}{3} - \frac{7}{3} = -2$ (絶対値を取る)

$S = \int_1^3 |(x^2 - 3x + 2) - (-x + 1)| dx = \int_1^3 |x^2 - 2x + 1| dx = \int_1^3 (x-1)^2 dx = [\frac{(x-1)^3}{3}]_1^3 = \frac{8}{3}$

$S = \int_1^3 |(x^2 - 3x + 2) - (3x - 7)| dx = \int_1^3 |x^2 - 6x + 9| dx = \int_1^3 (x-3)^2 dx = [\frac{(x-3)^3}{3}]_1^3 = -\frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$

放物線と2つの接線で囲まれた面積を求める問題なので、

$S = \frac{|a| (x_2 - x_1)^3}{6} = \frac{1 * (3 - 1)^3}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

面積を求める。

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = -x + 1$ (接点 $(1, 0)$)、 $y = 3x - 7$ (接点 $(3, 2)$)

(2) 面積: $\frac{4}{3}$