$\int_2^x (t^2+3t+1) dt$ と $\int_x^1 (t^3-t-1) dt$ をそれぞれ $x$ で微分する。

1. 問題の内容

$\int_2^x (t^2+3t+1) dt$ と $\int_x^1 (t^3-t-1) dt$ をそれぞれ $x$ で微分する。

2. 解き方の手順

微分積分学の基本定理を用いる。

(1) $\int_2^x (t^2+3t+1) dt$ について:

微分積分学の基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ である。

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_2^x (t^2+3t+1) dt = x^2 + 3x + 1$

(2) $\int_x^1 (t^3-t-1) dt$ について:

積分区間の順序を入れ替えると、$\int_x^1 (t^3-t-1) dt = -\int_1^x (t^3-t-1) dt$ となる。

微分積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \left( -\int_1^x (t^3-t-1) dt \right) = -(x^3 - x - 1) = -x^3 + x + 1$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \int_2^x (t^2+3t+1) dt = x^2 + 3x + 1$

$\frac{d}{dx} \int_x^1 (t^3-t-1) dt = -x^3 + x + 1$