$x > 0$ における関数 $f(x) = (2x + \frac{27}{x+1} + 2)(x + \frac{6}{x+1} + 1)$ の最小値と、その最小値を与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 0$ における関数 $f(x) = (2x + \frac{27}{x+1} + 2)(x + \frac{6}{x+1} + 1)$ の最小値と、その最小値を与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を展開する。

$f(x) = (2x + 2 + \frac{27}{x+1})(x + 1 + \frac{6}{x+1} - 1)$

$f(x) = (2(x+1) + \frac{27}{x+1})((x+1) + \frac{6}{x+1})$

$t = x+1$ と置換する。$x>0$ より $t>1$ となる。

$f(x)$ は $g(t) = (2t + \frac{27}{t})(t + \frac{6}{t})$ となる。

$g(t)$ を展開する。

$g(t) = 2t^2 + 12 + 27 + \frac{162}{t^2}$

$g(t) = 2t^2 + \frac{162}{t^2} + 39$

相加相乗平均の不等式を利用する。

$2t^2 + \frac{162}{t^2} \geq 2 \sqrt{2t^2 \cdot \frac{162}{t^2}} = 2\sqrt{324} = 2 \cdot 18 = 36$

よって、$g(t) \geq 36 + 39 = 75$

等号成立条件は $2t^2 = \frac{162}{t^2}$ より $t^4 = 81$

$t^2 = 9$

$t = 3$ (∵ $t > 1$)

$t=3$ のとき、$x+1 = 3$ より $x=2$

$x=2$ のとき、$f(2) = (2\cdot 2 + \frac{27}{2+1} + 2)(2 + \frac{6}{2+1} + 1) = (4 + 9 + 2)(2 + 2 + 1) = 15 \cdot 5 = 75$

3. 最終的な答え

最小値：75

$x$の値：2