定積分 $\int_{0}^{2} 3^{x-2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} 3^{x-2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、指数関数の積分公式 $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ を利用します。

$3^{x-2}$ を積分すると、

$$\int 3^{x-2} dx = \frac{3^{x-2}}{\ln 3} + C$$

となります。

次に、定積分の定義に従い、積分範囲の端点を代入します。

$$\int_{0}^{2} 3^{x-2} dx = \left[ \frac{3^{x-2}}{\ln 3} \right]_{0}^{2} = \frac{3^{2-2}}{\ln 3} - \frac{3^{0-2}}{\ln 3} = \frac{3^0}{\ln 3} - \frac{3^{-2}}{\ln 3}$$

$$= \frac{1}{\ln 3} - \frac{1}{9\ln 3} = \frac{9}{9\ln 3} - \frac{1}{9\ln 3} = \frac{8}{9\ln 3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{9\ln 3}$