定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2r^3 \sin{\theta} \cos^2{\theta} d\theta$ を計算する。$r$ は定数である。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2r^3 \sin{\theta} \cos^2{\theta} d\theta$ を計算する。$r$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、定数 $2r^3$ を積分の外に出す。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2r^3 \sin{\theta} \cos^2{\theta} d\theta = 2r^3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\theta} \cos^2{\theta} d\theta$$

次に、$u = \cos{\theta}$ と置換する。すると、$du = -\sin{\theta} d\theta$ となる。積分の範囲も変更する必要がある。$\theta = 0$ のとき、$u = \cos{0} = 1$ であり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \cos{\frac{\pi}{2}} = 0$ である。よって、積分は次のようになる。

$$2r^3 \int_{1}^{0} -u^2 du = 2r^3 \int_{0}^{1} u^2 du$$

$u^2$ を積分すると $\frac{u^3}{3}$ になるから、

$$2r^3 \int_{0}^{1} u^2 du = 2r^3 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2r^3 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2r^3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2r^3}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2r^3}{3}$