与えられた全微分方程式 $(x-y+1)dx + (y^2-x+3)dy = 0$ の一般解を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた全微分方程式 $(x-y+1)dx + (y^2-x+3)dy = 0$ の一般解を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式が全微分方程式であることを確認します。

$M(x, y) = x - y + 1$

$N(x, y) = y^2 - x + 3$

$\frac{\partial M}{\partial y} = -1$

$\frac{\partial N}{\partial x} = -1$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$であるため、与えられた微分方程式は全微分方程式です。

次に、全微分方程式の解 $F(x, y) = C$ を求めます。

$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y) = x - y + 1$

$\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y) = y^2 - x + 3$

まず、$\frac{\partial F}{\partial x} = x - y + 1$ を $x$ で積分します。

$F(x, y) = \int (x - y + 1) dx = \frac{1}{2}x^2 - xy + x + g(y)$

ここで、$g(y)$ は $y$ のみの関数です。次に、$\frac{\partial F}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial F}{\partial y} = -x + g'(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = y^2 - x + 3$とすると、

$-x + g'(y) = y^2 - x + 3$

$g'(y) = y^2 + 3$

$g'(y)$ を $y$ で積分して、$g(y)$ を求めます。

$g(y) = \int (y^2 + 3) dy = \frac{1}{3}y^3 + 3y + C'$

ここで、$C'$ は積分定数です。

したがって、$F(x, y) = \frac{1}{2}x^2 - xy + x + \frac{1}{3}y^3 + 3y = C$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 - xy + x + \frac{1}{3}y^3 + 3y = C$

選択肢の中から一致するものを探すと、3番の選択肢が一致します。

答え: 3