(a) $f(x)$ は3次関数で、$f(0) = 2, f(1) = f(2) = f(3) = 0$ を満たす。このとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3}$ と $f'(1)$ を求める。 (b) $g(x)$ は5次関数で、$g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0, g(6) = 2$ を満たす。このとき、$g'(4)$ と $\int_{0}^{6} \{g(x) - g(0)\} dx$ を求める。

1. 問題の内容

(a) $f(x)$ は3次関数で、$f(0) = 2, f(1) = f(2) = f(3) = 0$ を満たす。このとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3}$ と $f'(1)$ を求める。

(b) $g(x)$ は5次関数で、$g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0, g(6) = 2$ を満たす。このとき、$g'(4)$ と $\int_{0}^{6} \{g(x) - g(0)\} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(a)

まず、$f(x)$ の形を決定する。$f(1) = f(2) = f(3) = 0$ より、$f(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)$ と表せる。$f(0) = 2$ より、$a(-1)(-2)(-3) = 2$。したがって、$-6a = 2$ より、$a = -\frac{1}{3}$。

$f(x) = -\frac{1}{3}(x-1)(x-2)(x-3)$ である。

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{3}(x-1)(x-2)(x-3)}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{3}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)}{x^3} = -\frac{1}{3}$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$ なので、$f'(x) = -\frac{1}{3}(3x^2 - 12x + 11)$ である。

$f'(1) = -\frac{1}{3}(3 - 12 + 11) = -\frac{1}{3}(2) = -\frac{2}{3}$

(b)

$g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0$ より、$g(x) = b(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ と表せる。

$g(6) = 2$ より、$b(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) = 2$。したがって、$b(5)(4)(3)(2)(1) = 2$ より、$120b = 2$。

$b = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$。

$g(x) = \frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ である。

$g'(x) = \frac{1}{60} \sum_{i=1}^{5} \prod_{j=1, j \neq i}^{5} (x-j)$

$g'(4) = \frac{1}{60} (4-1)(4-2)(4-3)(4-5) = \frac{1}{60} (3)(2)(1)(-1) = \frac{-6}{60} = -\frac{1}{10}$

$g(0) = \frac{1}{60}(-1)(-2)(-3)(-4)(-5) = \frac{1}{60}(-120) = -2$

$\int_{0}^{6} \{g(x) - g(0)\} dx = \int_{0}^{6} \{g(x) + 2\} dx = \int_{0}^{6} g(x) dx + \int_{0}^{6} 2 dx$

$\int_{0}^{6} g(x) dx = \int_{0}^{6} \frac{1}{60}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$

$g(x)=\frac{1}{60}(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120)$

$\int_0^6 g(x) dx = \frac{1}{60}[\frac{x^6}{6}-3x^5+\frac{85}{4}x^4-75x^3+137x^2-120x]_0^6 = \frac{1}{60}[7776/6-3\cdot 7776+ \frac{85}{4}\cdot 1296 -75\cdot 216+137 \cdot 36 - 120\cdot 6] = \frac{1}{60}[1296-23328+27540-16200+4932-720]=\frac{1}{60}[-6480] = -108$

$\int_{0}^{6} \{g(x) - g(0)\} dx = \int_{0}^{6} g(x) dx + 2 \int_{0}^{6} dx = -108 + 2(6) = -108 + 12 = -96$

3. 最終的な答え

あ: -1/3

い: -2/3

う: -1/10

え: -96