関数 $f(x)$ が与えられており、以下の問題に答える必要があります。 (1) $f(1)$と$f(\sqrt{3})$の値を求めよ。 (2) $f(-1)$と$f(-\sqrt{3})$の値を求めよ。 (3) 逆関数の微分則を用いて、$(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}$となることを示せ。 (4) (3)の結果と合成関数の微分則を利用して、$x \neq 0$での導関数 $f'(x)$を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられており、以下の問題に答える必要があります。

(1) $f(1)$と$f(\sqrt{3})$の値を求めよ。

(2) $f(-1)$と$f(-\sqrt{3})$の値を求めよ。

(3) 逆関数の微分則を用いて、$(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}$となることを示せ。

(4) (3)の結果と合成関数の微分則を利用して、$x \neq 0$での導関数 $f'(x)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$と$f(\sqrt{3})$を求める

$f(x) = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$ ($x \neq 0$のとき)なので、

$f(1) = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} \frac{1}{1} = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$f(\sqrt{3}) = \tan^{-1} \sqrt{3} + \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

(2) $f(-1)$と$f(-\sqrt{3})$を求める

$f(-1) = \tan^{-1} (-1) + \tan^{-1} \frac{1}{-1} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$

$f(-\sqrt{3}) = \tan^{-1} (-\sqrt{3}) + \tan^{-1} \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$

(3) $(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}$を示す

$y = \tan^{-1} x$ とおくと、 $x = \tan y$である。

両辺を$x$で微分すると、

$1 = \frac{d}{dx} (\tan y) = \frac{d}{dy} (\tan y) \frac{dy}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$

したがって、 $(\tan^{-1} x)' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

(4) $x \neq 0$での導関数 $f'(x)$を求める

$f(x) = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$ ($x \neq 0$のとき)なので、

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{x^2+1} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = \frac{\pi}{2}$, $f(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2}$

(2) $f(-1) = -\frac{\pi}{2}$, $f(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{2}$

(3) $(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}$ (証明済み)

(4) $f'(x) = 0$