$0 \leq x \leq \pi$ の範囲において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leq x \leq \pi$ の範囲において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。$\sin x = \sin 2x$ を満たす $x$ の値を求めます。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ であるから、

$\sin x = 2 \sin x \cos x$

$\sin x - 2 \sin x \cos x = 0$

$\sin x (1 - 2 \cos x) = 0$

したがって、$\sin x = 0$ または $1 - 2 \cos x = 0$ です。

$\sin x = 0$ となるのは、$0 \leq x \leq \pi$ の範囲で $x = 0, \pi$ です。

$1 - 2 \cos x = 0$ となるのは、$\cos x = \frac{1}{2}$ なので、$0 \leq x \leq \pi$ の範囲で $x = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、交点は $x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi$ です。

次に、面積を計算します。$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$ の範囲では、$\sin 2x \geq \sin x$ であり、$\frac{\pi}{3} \leq x \leq \pi$ の範囲では、$\sin x \geq \sin 2x$ です。

したがって、面積 $S$ は

$S = \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^\pi (\sin x - \sin 2x) dx$

と表せます。

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$

なので、

$S = \left[-\frac{1}{2} \cos 2x + \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{3}} + \left[-\cos x + \frac{1}{2} \cos 2x \right]_{\frac{\pi}{3}}^\pi$

$S = \left( -\frac{1}{2} \cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos 0 + \cos 0 \right) + \left( -\cos \pi + \frac{1}{2} \cos 2\pi \right) - \left( -\cos \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cos \frac{2\pi}{3} \right)$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\cos 0 = 1$

$\cos \pi = -1$

$\cos 2\pi = 1$

なので、

$S = \left( -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2}(1) + 1 \right) + \left( -(-1) + \frac{1}{2}(1) \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) + \left( 1 + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$

$S = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \left( -\frac{3}{4} \right)$

$S = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{6}{4} + \frac{3}{4}$

$S = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{5}{2}$