画像に記載されている高次導関数の問題を、ライプニッツの定理を用いて解く問題です。今回は、問題(3)の $(x^3 e^{3x})^{(n)}$ を解きます。

1. 問題の内容

画像に記載されている高次導関数の問題を、ライプニッツの定理を用いて解く問題です。今回は、問題(3)の $(x^3 e^{3x})^{(n)}$ を解きます。

2. 解き方の手順

ライプニッツの定理とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階微分に関する定理で、以下の式で表されます。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$$

ここで、${}_n C_k$ は二項係数です。

与えられた関数 $f(x) = x^3 e^{3x}$ を $u = x^3$, $v = e^{3x}$ とおきます。

まず、$u = x^3$ の導関数を計算します。

$u' = 3x^2$

$u'' = 6x$

$u''' = 6$

$u^{(4)} = 0$

以降、$u^{(k)} = 0$ ($k \geq 4$) となります。

次に、$v = e^{3x}$ の導関数を計算します。

$v' = 3e^{3x}$

$v'' = 9e^{3x} = 3^2 e^{3x}$

$v''' = 27e^{3x} = 3^3 e^{3x}$

一般に、$v^{(k)} = 3^k e^{3x}$ となります。

ライプニッツの定理より、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$= {}_n C_0 u^{(n)} v^{(0)} + {}_n C_1 u^{(n-1)} v^{(1)} + {}_n C_2 u^{(n-2)} v^{(2)} + {}_n C_3 u^{(n-3)} v^{(3)} + \cdots$

$u^{(k)}$ は $k \geq 4$ で $0$ になるため、以下の4項のみ考えればよいです。

$(uv)^{(n)} = {}_n C_0 u^{(n)} v^{(0)} + {}_n C_1 u^{(n-1)} v^{(1)} + {}_n C_2 u^{(n-2)} v^{(2)} + {}_n C_3 u^{(n-3)} v^{(3)}$

ここで、$n \geq 3$ と仮定します。

$x^3 e^{3x}$ の $n$ 階微分は、

$(x^3 e^{3x})^{(n)} = {}_n C_0 (x^3)^{(n)} (e^{3x})^{(0)} + {}_n C_1 (x^3)^{(n-1)} (e^{3x})^{(1)} + {}_n C_2 (x^3)^{(n-2)} (e^{3x})^{(2)} + {}_n C_3 (x^3)^{(n-3)} (e^{3x})^{(3)}$

より詳細に書くと、

$(x^3 e^{3x})^{(n)} = {}_n C_0 u^{(n)} e^{3x} + {}_n C_1 u^{(n-1)} 3 e^{3x} + {}_n C_2 u^{(n-2)} 3^2 e^{3x} + {}_n C_3 u^{(n-3)} 3^3 e^{3x}$

さらに場合分けが必要です。

$n = 0, 1, 2, 3$の場合を考えます。

$n > 3$ の場合、

$(x^3)^{(n)} = 0$

$(x^3)^{(n-1)} = 0$

$(x^3)^{(n-2)} = 0$

$(x^3)^{(n-3)} = 0$

であるので、この場合も同様に式を整理する必要があります。

$n>3$の場合、$x^3 e^{3x}$ の $n$ 階微分は以下のようになります。

$(x^3 e^{3x})^{(n)} = {}_n C_0 (x^3)^{(n)} e^{3x} + {}_n C_1 (x^3)^{(n-1)} 3e^{3x} + {}_n C_2 (x^3)^{(n-2)} 3^2 e^{3x} + {}_n C_3 (x^3)^{(n-3)} 3^3 e^{3x}$

ここで、$n > 3$なので、$n-1 > 2$, $n-2 > 1$, $n-3 > 0$ であるから、$u^{(n)} = 0$, $u^{(n-1)} = 0$, $u^{(n-2)} = 0$ となる。

したがって、

$(x^3)^{(n)} = 0$, $(x^3)^{(n-1)} = 0$, $(x^3)^{(n-2)} = 0$

$(x^3)^{(n-3)} = \frac{d^{n-3}}{dx^{n-3}}(x^3) = \frac{d^{n-3}}{dx^{n-3}}(x^3)$

ライプニッツの公式を用いると、

$(x^3 e^{3x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{3} {}_n C_k (x^3)^{(n-k)} (e^{3x})^{(k)} = e^{3x} \sum_{k=0}^{3} {}_n C_k (x^3)^{(n-k)} 3^k$

さらに、$x^3$ の微分は

$(x^3)^{(0)} = x^3$

$(x^3)^{(1)} = 3x^2$

$(x^3)^{(2)} = 6x$

$(x^3)^{(3)} = 6$

これらより、$n>3$ のとき、

$(x^3 e^{3x})^{(n)} = e^{3x} \sum_{k=0}^{3} {}_n C_k (x^3)^{(n-k)} 3^k$

$= e^{3x} [ {}_n C_0 3^n x^3 + {}_n C_1 3^{n-1} (3x^2) + {}_n C_2 3^{n-2} (6x) + {}_n C_3 3^{n-3} (6)]$

$= 3^{n-3} e^{3x} [27x^3 + 9nx^2 + n(n-1) x + n(n-1)(n-2)]$

$= 3^{n-3} e^{3x} [27x^3 + 9nx^2 + 3n(n-1) x + n(n-1)(n-2)]$

3. 最終的な答え

$(x^3 e^{3x})^{(n)} = 3^{n-3} e^{3x} (27x^3 + 9nx^2 + 3n(n-1) x + n(n-1)(n-2))$