この問題は、微分と関数の関係について問うものです。具体的には、以下の3つの問いに答える必要があります。 (1) 微分可能な関数の和と定数倍の微分について、成り立つ性質を答える。 (2) 関数 $f(x) = (x+3)^2$ の微分を、微分の定義を用いて計算した結果と、(1)で答えた性質を用いて計算した結果を比較する。 (3) 関数の積の微分 $(f(x)g(x))' = f'(x)g'(x)$ が成り立つかどうかを調べ、成り立たない場合は反例を挙げ、成り立つ場合はそのことを示す。

1. 問題の内容

この問題は、微分と関数の関係について問うものです。具体的には、以下の3つの問いに答える必要があります。

(1) 微分可能な関数の和と定数倍の微分について、成り立つ性質を答える。

(2) 関数 $f(x) = (x+3)^2$ の微分を、微分の定義を用いて計算した結果と、(1)で答えた性質を用いて計算した結果を比較する。

(3) 関数の積の微分 $(f(x)g(x))' = f'(x)g'(x)$ が成り立つかどうかを調べ、成り立たない場合は反例を挙げ、成り立つ場合はそのことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 微分可能な関数の和と定数倍の微分について成り立つ性質は、次の2つです。

* 和の微分: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

* 定数倍の微分: $(cf(x))' = cf'(x)$ (ただし、$c$ は定数)

(2) まず、微分の定義を用いて $f(x) = (x+3)^2$ を微分します。微分の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h) = (x+h+3)^2 = (x+3)^2 + 2(x+3)h + h^2$

$f(x+h) - f(x) = 2(x+3)h + h^2$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2(x+3) + h$

したがって、$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2(x+3) + h) = 2(x+3) = 2x + 6$

次に、(1)の性質を用いて $f(x)$ を微分します。まず、$f(x) = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ と展開します。

$x^2$ の微分は $2x$ 、$6x$ の微分は $6$、$9$ の微分は $0$ であるため、和の微分と定数倍の微分より、$f'(x) = 2x + 6 + 0 = 2x + 6$

したがって、微分の定義と(1)の性質を用いて計算した結果は一致します。

(3) 関数の積の微分は一般には成り立ちません。つまり、$(f(x)g(x))' \neq f'(x)g'(x)$ です。正しい積の微分公式は、

$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

です。

反例を挙げます。例えば、$f(x) = x$ 、$g(x) = x$ とすると、$f(x)g(x) = x^2$ であり、$(f(x)g(x))' = 2x$ です。一方、$f'(x) = 1$、$g'(x) = 1$ なので、$f'(x)g'(x) = 1 \times 1 = 1$ となり、$(f(x)g(x))' \neq f'(x)g'(x)$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) 微分可能な関数の和の微分は、それぞれの関数の微分の和に等しい。定数倍の微分は、定数と関数の微分の積に等しい。

$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

$(cf(x))' = cf'(x)$

(2) 微分の定義を用いて計算した結果と、(1)で答えた性質を用いて計算した結果は一致する。$f'(x) = 2x + 6$

(3) 関数の積の微分 $(f(x)g(x))' = f'(x)g'(x)$ は一般には成り立たない。反例：$f(x) = x$、$g(x) = x$ のとき、$(f(x)g(x))' = 2x$ だが、$f'(x)g'(x) = 1$ である。