与えられた微分方程式 $x\frac{dy}{dx} - y = x^2\cos{x}$ の一般解を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x\frac{dy}{dx} - y = x^2\cos{x}$ の一般解を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は1階線形微分方程式です。まず、この方程式を標準形に変形します。

$x\frac{dy}{dx} - y = x^2\cos{x}$

両辺を$x^2$で割ると、

$\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = \cos{x}$

$\frac{d}{dx}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y$

よって、

$\frac{d}{dx}(\frac{y}{x}) = \cos{x}$

両辺を$x$について積分すると、

$\int \frac{d}{dx}(\frac{y}{x})dx = \int \cos{x} dx$

$\frac{y}{x} = \sin{x} + A$

$y = x(\sin{x} + A)$

3. 最終的な答え

選択肢の中から上記の結果と一致するものを選ぶと、②が正しいことがわかります。

答え：②