与えられた関数 $f_1(x) = e^x$, $f_2(x) = e^{2x}$, $f_3(x) = e^{3x}$ に対して、ロンスキー行列式 $W(f_1, f_2, f_3)(x) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & f_3 \\ f_1' & f_2' & f_3' \\ f_1'' & f_2'' & f_3'' \end{vmatrix}$ を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f_1(x) = e^x$, $f_2(x) = e^{2x}$, $f_3(x) = e^{3x}$ に対して、ロンスキー行列式

$W(f_1, f_2, f_3)(x) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & f_3 \\ f_1' & f_2' & f_3' \\ f_1'' & f_2'' & f_3'' \end{vmatrix}$

を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$f_1(x) = e^x$ より、 $f_1'(x) = e^x$, $f_1''(x) = e^x$

$f_2(x) = e^{2x}$ より、 $f_2'(x) = 2e^{2x}$, $f_2''(x) = 4e^{2x}$

$f_3(x) = e^{3x}$ より、 $f_3'(x) = 3e^{3x}$, $f_3''(x) = 9e^{3x}$

次に、ロンスキー行列式を計算します。

$W(f_1, f_2, f_3)(x) = \begin{vmatrix} e^x & e^{2x} & e^{3x} \\ e^x & 2e^{2x} & 3e^{3x} \\ e^x & 4e^{2x} & 9e^{3x} \end{vmatrix}$

行列式を計算します。

$W(f_1, f_2, f_3)(x) = e^x(2e^{2x} \cdot 9e^{3x} - 3e^{3x} \cdot 4e^{2x}) - e^{2x}(e^x \cdot 9e^{3x} - 3e^{3x} \cdot e^x) + e^{3x}(e^x \cdot 4e^{2x} - 2e^{2x} \cdot e^x)$

$= e^x(18e^{5x} - 12e^{5x}) - e^{2x}(9e^{4x} - 3e^{4x}) + e^{3x}(4e^{3x} - 2e^{3x})$

$= e^x(6e^{5x}) - e^{2x}(6e^{4x}) + e^{3x}(2e^{3x})$

$= 6e^{6x} - 6e^{6x} + 2e^{6x}$

$= 2e^{6x}$

3. 最終的な答え

$2e^{6x}$

選択肢より、答えは③です。