関数 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$e^x$ のマクローリン展開を考えます。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

次に、$e^{-x}$ のマクローリン展開を考えます。

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ なので、それぞれのマクローリン展開を足し合わせ、2で割ります。

$\cosh x = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \right) + \left( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right) \right]$

$\cosh x = \frac{1}{2} \left[ 2 + 2\frac{x^2}{2!} + 2\frac{x^4}{4!} + \cdots \right]$

$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

3. 最終的な答え

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$