与えられた自励系のリッカチ方程式 $\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{4}y(y-2)$ (ただし、$t \geq 0$) の初期条件 $y(0) = 1$ を満たす解 $y^*(t)$ について、$\lim_{t\to\infty} y^*(t)$ が収束する場合、その値を求める。

1. 問題の内容

与えられた自励系のリッカチ方程式 $\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{4}y(y-2)$ (ただし、$t \geq 0$) の初期条件 $y(0) = 1$ を満たす解 $y^*(t)$ について、$\lim_{t\to\infty} y^*(t)$ が収束する場合、その値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式の平衡解（定常解）を求める。平衡解は $\frac{dy}{dt} = 0$ となる $y$ の値である。

$\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{4}y(y-2) = 0$ より、$y = 0$ または $y = 2$ が平衡解となる。

次に、$y^*(t)$ がこれらの平衡解にどのように近づくかを調べる。初期条件 $y(0) = 1$ より、$y$ は $0$ と $2$ の間にある。

$\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{4}y(y-2)$ を考えると、$0 < y < 2$ のとき、$y(y-2) < 0$ であるから、$\frac{dy}{dt} > 0$ となる。つまり、$y(t)$ は時間とともに増加する。

$y(t)$ は増加するが、$y=2$ より大きくはならない。したがって、$t \to \infty$ のとき、$y(t)$ は $2$ に収束する。

3. 最終的な答え

$\lim_{t\to\infty} y^*(t) = 2$

よって、選択肢 3 が正しい。