与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + y = \sin x$ の一般解を、基本解 $y_1(x) = \cos x$ と $y_2(x) = \sin x$ を用いて求め、選択肢の中から正しいものを選びます。$C_1$と$C_2$は任意定数です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + y = \sin x$ の一般解を、基本解 $y_1(x) = \cos x$ と $y_2(x) = \sin x$ を用いて求め、選択肢の中から正しいものを選びます。$C_1$と$C_2$は任意定数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式は非同次線形微分方程式なので、一般解は同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解の和で表されます。

同次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ の一般解は、$y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$ で与えられます。

次に、非同次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + y = \sin x$ の特殊解を求めます。$\sin x$ が同次方程式の解に含まれているため、特殊解を $y_p = Ax \cos x + Bx \sin x$ と仮定します。

これを微分すると、

$\frac{dy_p}{dx} = A \cos x - Ax \sin x + B \sin x + Bx \cos x$

$\frac{d^2y_p}{dx^2} = -A \sin x - A \sin x - Ax \cos x + B \cos x + B \cos x - Bx \sin x$

$\frac{d^2y_p}{dx^2} = -2A \sin x - Ax \cos x + 2B \cos x - Bx \sin x$

これを与えられた微分方程式に代入すると、

$(-2A \sin x - Ax \cos x + 2B \cos x - Bx \sin x) + (Ax \cos x + Bx \sin x) = \sin x$

$-2A \sin x + 2B \cos x = \sin x$

この式から、$A = -\frac{1}{2}$、$B = 0$ が得られます。したがって、特殊解は $y_p = -\frac{1}{2}x \cos x$ となります。

一般解は $y = y_h + y_p = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{2}x \cos x$ で与えられます。

3. 最終的な答え

したがって、一般解は $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{2}x \cos x$ となります。選択肢の中でこれに該当するのは選択肢(2)です。

よって、答えは (2) です。

答え：2