与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x y^3$ を、変数変換 $u = y^{-2}$ を用いて、 $u$ に関する1階線形微分方程式に変換し、その形を選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = e^x y^3$ を、変数変換 $u = y^{-2}$ を用いて、 $u$ に関する1階線形微分方程式に変換し、その形を選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u = y^{-2}$ より、$y = u^{-1/2}$ です。

これを $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} u^{-3/2} \frac{du}{dx}$

となります。

これと $y = u^{-1/2}$ を与えられた微分方程式に代入すると、

$-\frac{1}{2} u^{-3/2} \frac{du}{dx} + u^{-1/2} = e^x (u^{-1/2})^3$

$-\frac{1}{2} u^{-3/2} \frac{du}{dx} + u^{-1/2} = e^x u^{-3/2}$

両辺に $-2u^{3/2}$ をかけると、

$\frac{du}{dx} - 2u = -2e^x$

が得られます。

3. 最終的な答え

$\frac{du}{dx} - 2u = -2e^x$

したがって、選択肢の①が正しいです。