与えられた式 $\frac{5x - 3}{(x+3)^4 + 1}$ の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{5x - 3}{(x+3)^4 + 1}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、$\frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

で与えられるものです。

この問題では、$u(x) = 5x - 3$ および $v(x) = (x+3)^4 + 1$ とします。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(5x - 3) = 5$

$v'(x) = \frac{d}{dx}((x+3)^4 + 1) = 4(x+3)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x+3) = 4(x+3)^3 \cdot 1 = 4(x+3)^3$

次に、商の微分公式にこれらの結果を代入します。

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{5x - 3}{(x+3)^4 + 1}\right) = \frac{5((x+3)^4 + 1) - (5x - 3)(4(x+3)^3)}{((x+3)^4 + 1)^2}$$

分子を展開して整理します。

$$$$

\begin{aligned}

&5((x+3)^4 + 1) - (5x - 3)(4(x+3)^3) \\

&= 5(x+3)^4 + 5 - (20x - 12)(x+3)^3 \\

&= 5(x+3)^4 + 5 - (20x(x+3)^3 - 12(x+3)^3) \\

&= 5(x+3)^4 + 5 - (20x(x+3)^3 - 12(x+3)^3) \\

&= 5(x+3)^4 + 5 - 20x(x+3)^3 + 12(x+3)^3 \\

&= (x+3)^3(5(x+3) - 20x + 12) + 5 \\

&= (x+3)^3(5x + 15 - 20x + 12) + 5 \\

&= (x+3)^3(-15x + 27) + 5

\end{aligned}

$$$$

したがって、微分は次のようになります。

$$\frac{(x+3)^3(-15x + 27) + 5}{((x+3)^4 + 1)^2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{(x+3)^3(-15x+27) + 5}{((x+3)^4+1)^2}$$