$(\cos x)^{\tan x}$ の微分を計算する問題です。

1. 問題の内容

$(\cos x)^{\tan x}$ の微分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$y = (\cos x)^{\tan x}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \tan x \ln(\cos x)$

両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律より、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

右辺は積の微分公式より、

$\frac{d}{dx} (\tan x \ln(\cos x)) = (\tan x)' \ln(\cos x) + \tan x (\ln(\cos x))'$

$= \frac{1}{\cos^2 x} \ln(\cos x) + \tan x \frac{1}{\cos x} (-\sin x)$

$= \frac{\ln(\cos x)}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$

$= \frac{\ln(\cos x) - \sin^2 x}{\cos^2 x}$

よって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln(\cos x) - \sin^2 x}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = y \frac{\ln(\cos x) - \sin^2 x}{\cos^2 x}$

$y = (\cos x)^{\tan x}$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{\tan x} \frac{\ln(\cos x) - \sin^2 x}{\cos^2 x}$

3. 最終的な答え

$(\cos x)^{\tan x} \frac{\ln(\cos x) - \sin^2 x}{\cos^2 x}$