$-\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

1. 問題の内容

$-\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行う。一般に $a \sin \theta + b \cos \theta$ は $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形できる。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos \alpha = \frac{a}{r}$ かつ $\sin \alpha = \frac{b}{r}$ である。

与えられた式は $-\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ なので、$a = -1$ および $b = \sqrt{3}$ である。

したがって、$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ となる。

次に、$\cos \alpha = \frac{a}{r} = \frac{-1}{2}$ および $\sin \alpha = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\alpha$を見つける。

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすのは $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ である。

よって、$2 \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})$ となる。

3. 最終的な答え

$2 \sin\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)$