$a < b$のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$a < b$のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理を利用します。

関数 $f(x) = e^x$ を区間 $[a, b]$ で考えます。$f(x)$は連続かつ微分可能なので、平均値の定理より、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在します。

$f(x) = e^x$ なので、$f'(x) = e^x$ です。したがって、

$\frac{e^b - e^a}{b - a} = e^c$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在します。

ここで、$a < c < b$ より、$e^a < e^c < e^b$ が成り立ちます。

よって、

$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$

が示されました。

3. 最終的な答え

$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$