提供された画像に3つの関数があるようです。それぞれ微分を求めます。

提供された画像に3つの関数があるようです。それぞれ微分を求めます。

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1. 問題の内容**

与えられた関数を微分します。

(4) $y = \frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x)$

(5) $y = \frac{1}{2}\{x\sqrt{x^2+1} + \log(\sqrt{x^2+1} + x)\}$

(6) $y = x^{x^x}$ ($x > 0$)

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2. 解き方の手順**

(4)

まず、$y = \frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x)$ を微分します。

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1-x^2} + x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1-x^2 - x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 - 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} \right)$

$= \frac{1 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2}$

(5)

次に、$y = \frac{1}{2}\{x\sqrt{x^2+1} + \log(\sqrt{x^2+1} + x)\}$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left\{\sqrt{x^2+1} + x\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} + \frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} + 1}{\sqrt{x^2+1} + x}\right\}$

$= \frac{1}{2}\left\{\sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1}{\sqrt{x^2+1} + x}\right\}$

$= \frac{1}{2}\left\{\frac{x^2+1 + x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1} + x)}\right\}$

$= \frac{1}{2}\left\{\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right\}$

$= \frac{1}{2}\left\{\frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\right\} = \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} = \sqrt{x^2+1}$

(6)

最後に、$y = x^{x^x}$ を微分します。

両辺の対数をとります。

$\log y = \log x^{x^x} = x^x \log x$

さらに、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^x \log x)$

積の微分法を使います。

$\frac{d}{dx}(x^x \log x) = \frac{d}{dx}(x^x) \log x + x^x \frac{d}{dx}(\log x)$

ここで、$u = x^x$ とすると、$\log u = x \log x$。両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{du}{dx} = u(\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^x(\log x + 1) \log x + x^x \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^x(\log x + 1) \log x + x^{x-1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left[x^x(\log x + 1) \log x + x^{x-1}\right]$

$\frac{dy}{dx} = x^{x^x} \left[x^x (\log x)^2 + x^x \log x + x^{x-1}\right]$

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3. 最終的な答え**

(4) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1-x^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x^2+1}$

(6) $\frac{dy}{dx} = x^{x^x} \left[x^x (\log x)^2 + x^x \log x + x^{x-1}\right]$