与えられた式 $\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行う。

まず、与えられた式を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形することを考える。

$r\sin(\theta+\alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

したがって、

$r\cos\alpha = \frac{1}{2}$

$r\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

となるように $r$ と $\alpha$ を定めればよい。

$r^2 = (r\cos\alpha)^2 + (r\sin\alpha)^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

$r > 0$ より、 $r=1$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

これらを満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$ である。

したがって、$\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$