曲線 $y = x^3 + x^2 + ax$ と放物線 $y = x^2 - 2$ が点Pを通り、Pにおいて共通の接線を持つとき、定数 $a$ の値と接線の方程式を求めよ。

## 問題7

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + x^2 + ax$ と放物線 $y = x^2 - 2$ が点Pを通り、Pにおいて共通の接線を持つとき、定数 $a$ の値と接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの $x$ 座標を $t$ とおく。2つの曲線が点Pを通るので、次の式が成り立つ。

$t^3 + t^2 + at = t^2 - 2$

$t^3 + at + 2 = 0$ ...(1)

(2) それぞれの曲線の微分を計算する。

$y' = 3x^2 + 2x + a$ （曲線 $y = x^3 + x^2 + ax$ ）

$y' = 2x$ (放物線 $y = x^2 - 2$ )

(3) 点Pにおける接線の傾きが等しいので、次の式が成り立つ。

$3t^2 + 2t + a = 2t$

$3t^2 + a = 0$ ...(2)

(4) (2)式より $a = -3t^2$ を(1)式に代入する。

$t^3 + (-3t^2)t + 2 = 0$

$t^3 - 3t^3 + 2 = 0$

$-2t^3 + 2 = 0$

$t^3 = 1$

$t = 1$

(5) $t=1$ を(2)式に代入して $a$ を求める。

$a = -3(1)^2 = -3$

(6) 点Pの座標を求める。$t=1$ を $y=x^2-2$ に代入すると、

$y = (1)^2 - 2 = -1$

したがって、点Pの座標は $(1, -1)$ である。

(7) 接線の傾きを求める。$y' = 2x$ に $t=1$ を代入すると、接線の傾きは $2(1) = 2$ である。

(8) 点P $(1, -1)$ を通り、傾きが2の直線の方程式は、

$y - (-1) = 2(x - 1)$

$y + 1 = 2x - 2$

$y = 2x - 3$

3. 最終的な答え

$a = -3$, 接線の方程式: $y = 2x - 3$