与えられた3つの関数について、指定された点における接線の方程式を求めます。 1. $y = \arccos x$ について、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ での接線の方程式を求める。 2. 媒介変数表示された曲線 $x = \cos \theta$, $y = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$ について、$\theta = \frac{\pi}{3}$ での接線の方程式を求める。 3. $y^2 = x^2(1 - x^2)$ で定義された曲線について、$(x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ での接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、指定された点における接線の方程式を求めます。

1. $y = \arccos x$ について、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ での接線の方程式を求める。

2. 媒介変数表示された曲線 $x = \cos \theta$, $y = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$ について、$\theta = \frac{\pi}{3}$ での接線の方程式を求める。

3. $y^2 = x^2(1 - x^2)$ で定義された曲線について、$(x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ での接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

1. $y = \arccos x$ の場合

まず、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のときの $y$ の値を求める。

$y = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$

次に、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。

$\frac{dy}{dx}\Big|_{x = \frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = -2$

接線の方程式は、点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{6})$ を通り、傾きが $-2$ の直線である。

$y - \frac{\pi}{6} = -2(x - \frac{\sqrt{3}}{2})$

$y = -2x + \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$

2. $x = \cos \theta$, $y = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$ の場合

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のときの $x$ と $y$ の値を求める。

$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cos(2\theta) = \cos(2\theta)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\cos(2\theta)}{-\sin \theta}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。

$\frac{dy}{dx}\Big|_{\theta = \frac{\pi}{3}} = \frac{\cos(\frac{2\pi}{3})}{-\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

接線の方程式は、点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ を通り、傾きが $\frac{\sqrt{3}}{3}$ の直線である。

$y - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac{1}{2})$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{12}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{3} \sqrt{3}x + \frac{1}{12} \sqrt{3}$.

3. $y^2 = x^2(1 - x^2)$ の場合

与えられた点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ を使う。

陰関数微分を行う。

$2y \frac{dy}{dx} = 2x(1-x^2) + x^2(-2x) = 2x - 2x^3 - 2x^3 = 2x - 4x^3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 4x^3}{2y} = \frac{x - 2x^3}{y}$

点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})} = \frac{\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{2})^3}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

接線の方程式は、点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ を通り、傾きが $\frac{\sqrt{3}}{3}$ の直線である。

$y - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac{1}{2})$

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{12}$

3. 最終的な答え

1. $y = -2x + \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$

2. $y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + \frac{1}{12}\sqrt{3}$

3. $y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + \frac{1}{12}\sqrt{3}$

問題文の形式に従うと、

1. $y = -2x + \sqrt{3} + \frac{1}{6} \pi$

2. $y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + \frac{1}{12}\sqrt{3}$

3. $y = \frac{1}{3}\sqrt{3}x + \frac{1}{12}\sqrt{3}$