次の3つの関数について、最大値と最小値があれば、それを求めよ。 (1) $y = x\sqrt{2-x^2}$ (2) $y = \frac{x+1}{x^2+1}$ (3) $y = \log(x^2+3) - \log(x+1)$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、最大値と最小値があれば、それを求めよ。

(1) $y = x\sqrt{2-x^2}$

(2) $y = \frac{x+1}{x^2+1}$

(3) $y = \log(x^2+3) - \log(x+1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x\sqrt{2-x^2}$

まず、定義域を考える。根号の中身が0以上である必要があるので、$2-x^2 \ge 0$ より $x^2 \le 2$。よって、$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$となる。

次に、$y$を微分する。

$y' = \sqrt{2-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{2-x^2}}(-2x) = \sqrt{2-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2-x^2-x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2-2x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{2-x^2}}$

$y' = 0$となるのは、$1-x^2 = 0$のとき、つまり、$x = \pm 1$のとき。

$x = -\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2}$について、$y$の値を計算する。

$x = -\sqrt{2}$のとき、$y = -\sqrt{2}\sqrt{2-2} = 0$

$x = -1$のとき、$y = -1\sqrt{2-1} = -1$

$x = 1$のとき、$y = 1\sqrt{2-1} = 1$

$x = \sqrt{2}$のとき、$y = \sqrt{2}\sqrt{2-2} = 0$

よって、最大値は1（$x=1$のとき）、最小値は-1（$x=-1$のとき）。

(2) $y = \frac{x+1}{x^2+1}$

$y'$を計算する。

$y' = \frac{(1)(x^2+1) - (x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$

$y' = 0$となるのは、$-x^2-2x+1 = 0$のとき。

$x^2+2x-1=0$より、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$x = -1-\sqrt{2}$のとき、$y = \frac{-1-\sqrt{2}+1}{(-1-\sqrt{2})^2+1} = \frac{-\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}+2+1} = \frac{-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}(4-2\sqrt{2})}{(4+2\sqrt{2})(4-2\sqrt{2})} = \frac{-4\sqrt{2}+4}{16-8} = \frac{-4\sqrt{2}+4}{8} = \frac{-\sqrt{2}+1}{2}$

$x = -1+\sqrt{2}$のとき、$y = \frac{-1+\sqrt{2}+1}{(-1+\sqrt{2})^2+1} = \frac{\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}+2+1} = \frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2})} = \frac{4\sqrt{2}+4}{16-8} = \frac{4\sqrt{2}+4}{8} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$\lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{x^2+1} = 0$

$\lim_{x\to-\infty} \frac{x+1}{x^2+1} = 0$

よって、最大値は$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$（$x = -1+\sqrt{2}$のとき）、最小値は$\frac{-\sqrt{2}+1}{2}$（$x = -1-\sqrt{2}$のとき）。

(3) $y = \log(x^2+3) - \log(x+1) = \log\left(\frac{x^2+3}{x+1}\right)$

まず、定義域を考える。真数は正である必要があるので、$x^2+3>0$かつ$x+1>0$。$x^2+3>0$は常に成立する。$x+1>0$より、$x>-1$。

$y' = \frac{1}{\frac{x^2+3}{x+1}} \cdot \frac{(2x)(x+1)-(x^2+3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1}{x^2+3} \cdot \frac{2x^2+2x-x^2-3}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)(x+1)} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x^2+3)(x+1)}$

$y' = 0$となるのは、$x = 1$または$x=-3$のとき。しかし、$x>-1$より、$x=1$のみ考える。

$x=1$のとき、$y = \log(\frac{1+3}{1+1}) = \log(\frac{4}{2}) = \log 2$

$\lim_{x\to -1+0} \log\left(\frac{x^2+3}{x+1}\right) = \infty$

$\lim_{x\to \infty} \log\left(\frac{x^2+3}{x+1}\right) = \infty$

よって、最小値は$\log 2$（$x = 1$のとき）。最大値はない。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 1 (x=1), 最小値: -1 (x=-1)

(2) 最大値: $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ (x=-1+$\sqrt{2}$), 最小値: $\frac{-\sqrt{2}+1}{2}$ (x=-1-$\sqrt{2}$)

(3) 最小値: $\log 2$ (x=1), 最大値: なし